什么是平面镶嵌（什么是平面镶嵌图案）

摘要： 本文目录一览：1、什么叫平面镶嵌2、...

本文目录一览：

• 1、什么叫平面镶嵌
• 2、（数学）平面镶嵌如何做，给我几个实例
• 3、什么叫平面镶嵌？
• 4、平面镶嵌的起因

什么叫平面镶嵌

平面镶嵌

1、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，

这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

2、用相同的正多边形铺地板.对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就铺成一个平面图形.事实上，正n边形的每一个内角为(n-2)180，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°=k(n-2)180/n，而k是正整数，所以n只可能为3，4，6.因此，用相同的正多边形地板砖铺地面，只有正三角形，正四边形，正六边形的地砖可以用.我们知道，任意四边形的内角和都等于360°.所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角形可以铺满地面吗？请同学们拼拼看.

3、用两种或两种以上的正多边形拼地板我们已知知道.有些相同的正多边形能够铺满地面，而有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.如教材上所列的几种情况.为什么这些正多边形组合能够密铺地面？这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题.

我们知道全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌（如图1、2）。而大于等于五边的只有特殊多边形才能平面镶嵌。凸多边形能进行平面镶嵌的边数都少于7边。多少年来，寻找特殊的五边形进行平面镶嵌就成了许多数学家的梦想。

让几个角相加等于360°。说起倒轻松，还是让我们回来看看为什么全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌吧。图1是由全等的任意三角形组成的平面镶嵌，仔细观察我们发现，这个图形是由三角形1、2组成的平行四边形进行平移得到的。我们把它叫做特征多边形。图2是全等的任意四边形的平面镶嵌的特征多边形。研究发现，这些特征多边形的对应边是平行的。换句话说就是：如果我们能把特征多边形进行适当的全等分割就能得到可以进行平面镶嵌的多边形。

如图3，正六边形是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图三等分，就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形。如图4，是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图四等分就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形。这是圣地亚哥的妇女玛乔里•赖斯1977年找到的。

如果允许有一组对边平行可以进行平面镶嵌的图形就太多了木工师傅就是把这种木料一块一块拼成大木板的。

（数学）平面镶嵌如何做，给我几个实例

1、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接什么是平面镶嵌，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成

一片什么是平面镶嵌，

这就是平面图形的密铺什么是平面镶嵌，又称做平面图形的镶嵌。

2、用相同的正多边形铺地板.对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一

点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点.当围绕一点拼在一

起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就铺成一个平面图形.事实上，正n边

形的每一个内角为(n-2)180，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°

=k(n-2)180/n，而k是正整数，所以n只可能为3，4，6.因此，用相同的正多边形地板砖铺地面，

只有正三角形，正四边形，正六边形的地砖可以用.我们知道，任意四边形的内角和都等于360°.

所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角

形可以铺满地面吗？请同学们拼拼看.

3、用两种或两种以上的正多边形拼地板我们已知知道.有些相同的正多边形能够铺满地面，而

有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.如教材

上所列的几种情况.为什么这些正多边形组合能够密铺地面？这个问题实质上是相关正多边形“交

接处各角之和能否拼成周角”的问题.

我们知道全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌（如图1、2）。而大于等于五边的只

有特殊多边形才能平面镶嵌。凸多边形能进行平面镶嵌的边数都少于7边。多少年来，寻找特殊

的五边形进行平面镶嵌就成了许多数学家的梦想。

让几个角相加等于360°。说起倒轻松，还是让我们回来看看为什么全等的任意三角形、四边形

都可以进行平面镶嵌吧。图1是由全等的任意三角形组成的平面镶嵌，仔细观察我们发现，这个

图形是由三角形1、2组成的平行四边形进行平移得到的。我们把它叫做特征多边形。图2是全等

的任意四边形的平面镶嵌的特征多边形。研究发现，这些特征多边形的对应边是平行的。换句话

说就是什么是平面镶嵌：如果我们能把特征多边形进行适当的全等分割就能得到可以进行平面镶嵌的多边形。

如图3，正六边形是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图三等分，就可以得到可以进行平

面镶嵌的五边形。如图4，是一个可以进行平面镶嵌特征多边形把它如图四等分就可以得到可以

进行平面镶嵌的五边形。这是圣地亚哥的妇女玛乔里•赖斯1977年找到的。

如果允许有一组对边平行可以进行平面镶嵌的图形就太多了木工师傅就是把这种木料一块一块

拼成大木板的。

望采纳！谢谢！

什么叫平面镶嵌？

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，

这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

平面镶嵌的起因

平面镶嵌：

正多边形有无限多种什么是平面镶嵌，正三角形、正方形、正五边形等等。其实，任何边数的正多边形都存在，因为可以设想将圆周n等分（n≥3），顺次连接相邻的分点，那么得到的内接多边形就是正n边形。

我们的问题是用正多形来镶嵌平面，也就是说取正多边形，彼此不重叠地铺放在地面上，不准有任何地面露出来。

显然，用同样大小的正方形、正三角形、正六边形，各自都可以铺满平面。

然而，如果这种镶嵌不限于用同一种正多边形，只要求同一种正多边形是有同样尺寸的。那么怎样寻求其它种类的镶嵌方案呢什么是平面镶嵌？

一、如果能实现平面的镶嵌，镶嵌图的每个顶点都必须是集中了几个正多边形的顶角。于是在每一顶点集中的顶角刚好拼成一个圆周角。因为每一个正n边形的内角为倍的直角，即，因此，要找到这样的拼图，须找到正整数n, p，q，r，……，使

这是个奇怪的方程式。其奇怪之处在于未知数的个数未确定，但限制未知数必须是不小于3的整数。这个方程不只有一组解，但是能有多少组解呢？

让我们先作一点分析。假定有m个大于3的整数满足方程，记为(n1，n2，n3...nm)，即

于是有

即

由于n1，n2，…nm每个都不小于3，于是由，知道必有，故m≤6 。

又由于一个顶点处至少要有三个角拼在一起才行，否则必有超过或等于180°的角，所以m≥3。至此，我们的解答中，每一组解中未知数个数只能是3，4，5，6之中。现在看看怎样求解。

令n=3，则

令p=3，则

令q=3，则

令r=3，则

令s=3，则

令t＝3，则

这就是说，我们找到了6个数，n=3, p=3, q=3, r=3, t=3，这组解记为（3，3，3，3，3）。请看图中的第二个图，这就是这组解相应的镶嵌图。

注意上面令s=3时，注定了t必须得3。因此上面求解中进行到r=3之后，有方程

（1）令s=4，试试则有

于是t=3,4,5,…，都会使这样的方程的右端成为负数，这是不可能的，故在n=3, p=3, q=3，r=3之后，s=4是不可能的。

（2）令s=5，试试，这时

这时，若t=3，则

u取任何大于3的正整数皆使以后这样的方程右端为负数，故令s=5试验是失败的。这又说明s=5是不可能的。

（3）令s=6，这时正好有。对s6不用试了，因为这将使以后这样的方程右端为负数。至此得另一组解（3，3，3，3，6）。

二、上面的求解方程虽然显的笨拙，但这是有用的。把各种可能发生的情况都逐一考虑，只要问题本身是有有限种解答，那么都举出来研究，这叫“穷举法”。

继续上面的推理，已经考虑了解答中出现六个3的情况，及出现四个3与一个6的情形。下面考虑三个3的情形，经过推导，容易得出解答（3，3，3，4，4），含三个3的只有这一种可能。

接着考虑含有两个3的解答，可得（3，3，6，6），（3，3，4，12）。

若考虑含有一个3的解答，得（3，7，42），（3，8，24），（3，9，18），（3，10，15），（3，12，12）

下面列出17组解答：

（3，7，42）

（3，8，24）

（3，9，18）

（3，10，15）

（3，12，12）

（4，5，20）

（4，6，12）

（4，8，8）

（5，5，10）

（6，6，6）

（3，3，4，12）

（3，3，6，6）

（3，4，4，6）

（4，4，4，4）

（3，3，3，4，4）

（3，3，3，3，6）

（3，3，3，3，3，3）

有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地给制出了这些图样，真是令人叹为观止。